设D是由直线y=-x,y=1.x=1所围成的平面区域,则二重积分xln(y+√1+y²)dxdy

题目

设D是由直线y=-x,y=1.x=1所围成的平面区域,则二重积分xln(y+√1+y²)dxdy

答案

记 f(y)=ln[y+√(1+y^2)],
则 f(-y)=ln[-y+√(1+y^2)]
= ln{[-y+√(1+y^2)][y+√(1+y^2)]/[y+√(1+y^2)]}
= ln{1/[y+√(1+y^2)]} = -ln[y+√(1+y^2)] = -f(y),
f(y)为奇函数.
记 O（0,0）,A（-1,1）,B（1,-1）,C（1,1）.
则积分域 D 是△ABC.连接 OC,记 D1：△OAC,D2：△OBC.
D1：△OAC 关于 y 轴对称,积分函数 xln[y+√(1+^2)] 是 x 的奇函数,积分为0；
D2：△OBC 关于 x 轴对称,积分函数 xln[y+√(1+^2)] 是 y 的奇函数,积分为0.
故本题积分为零.