如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，EC=ED，∠BEC=75°，∠AED=45°，求证：AB=BC．

题目

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，EC=ED，∠BEC=75°，∠AED=45°，求证：AB=BC．

答案

证明：作DF⊥BC与D点F，，
梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠DFC=90°，
∴ABFD是矩形，
∴AB=DF．
∵∠BEC=75°，∠AED=45°，
∴∠DEC=60°，∠ECB=15°
△DEC是等边三角形，
∴∠DCE=60°，DC=DE．
∠DCF=∠DCE+∠ECF=75°，
在△BCE和△FDC中，

∠BEC＝∠FCD ∠B＝∠CFD CE＝CD

，
∴△BCE≌△FDC（AAS），
BC=DF．
∴AB=BC．

根据矩形的判定与性质，可得AB与FD的关系，根据角的和差，可得∠DEC的度数，根据等边三角形的判定，可得△CDE的形状，根据AAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．