已知A,B,C是不共线的三点,O是三角形ABC内的一点,若向量OA+向量OB+向量OC=0,证明O是三角形ABC的重心

题目

答案

取BC中点D,连结并延长OD至E,使DE=OD
于是四边形BOCE是平行四边形
所以向量OB=向量CE
所以向量OB+向量OC=向量CE+向量OC=向量OE
而由向量OA+向量OB+向量OC=0得
向量OB+向量OC=-向量OA=向量AO
所以向量AO和向量OE共线
所以A、O、E三点共线
而D在OE上
所以A、O、D三点共线
而点D又是BC中点
所以AD(即AO)是三角形ABC中BC边中线
同理可证BO是AC边中线,CO是AB边中线
所以点O是三角形ABC的重心

举一反三

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