复合函数求导公式是如何推导出来的?
题目
复合函数求导公式是如何推导出来的?
设y=f(u),u=g(x)
则f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / du
du = dg(x) = g'(x)dx
则原式=
f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / g'(x)dx
f'(u)g'(x) = ( f(u+du) - f(u) ) /dx
= ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx = f'(x)
上述证明是否正确,如果正确的话,为什么说df/dx = df/du * du/dx 中的du不可以约去,上述证明中g'(x)的移位不是与du的约去本质相同吗?
上述证明如果错误,请给出正确的证明,并说明不同之处在哪里?
如果以下是对的,请说明设v 和u 的意义在哪里?如果把u ,v消去,得到的等式与上述我的证明不是一样的吗?
首先,根据定义:当h->0时,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,当h->0时,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有:g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理:f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h (其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h)
所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g
答案
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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