a,b,c,d均为实数,满足a^2+b^2+2a-4b+4=0且c^2+d^2-4c+4d+4=0.求(a-c)^2+(b-d)^2最大值与最小值?

题目

a,b,c,d均为实数,满足a^2+b^2+2a-4b+4=0且c^2+d^2-4c+4d+4=0.求(a-c)^2+(b-d)^2最大值与最小值?
使用柯西不等式或切比雪夫不等式解

答案

a^2+b^2+2a-4b+4=0；
所以：
(a+1)^2+(b-2)^2=1;
是圆心为（-1,2）或（2,-1）半径为1的圆；
c^2+d^2-4c+4d+4=0
(c-2)^2+(d+2)=4;
是（-2,2）或（2,-2）半径为2的圆；
画图：
(a-c)^2+(b-d)^2；为两个圆上点的距离的平方：
当(a+1)^2+(b-2)^2=1；圆心为（-1,2）；
(c-2)^2+(d+2)=4；圆心（-2,2）；两圆相切
所以（a-c)^2+(b-d)^2最小值0；
当(a+1)^2+(b-2)^2=1；圆心为（-1,2）；
（c-2)^2+(d+2)=4；圆心（2,-2）；
两圆相离；
最大距离为通过两圆心的直线交两圆远端的两点：
等于圆心距+两个圆的半径和；
圆心距为5：（-1,2）---（2,-2）；
最大距离为5+2+1=8；
(a-c)^2+(b-d)^2最大值等于8^2为64