当N为整数,证明N的3次方-N的值必定是6的倍数

题目

当N为整数,证明N的3次方-N的值必定是6的倍数

答案

数学归纳法 (1)当n=1时 1^3-1=0 能被6整除 当n=2时 2^3－2=6 能被6整除 (2)假设当n=k时(k为正整数) k^3-k能被6整除 则当n=k+1时 (k+1)^3-(k+1)=(k+1)[(k+1)^2-1]=(k+1)(k+2)k k(k+1)(k+2)为连续三个正整数的乘积 连续三个正整数中必有一个3的倍数 至少有一个为偶数 所以k(k+1)(k+2)中有2和3两个因子 一定能被6整数 综合(1)(2)可知 对于任意正整数n^3-n必是6的倍数