在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,已知2sinA=3cosA.(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值;(2)若a=3,求△ABC面积的最大值.

在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,已知2sinA=3cosA.(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值;(2)若a=3,求△ABC面积的最大值.

题目
在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,已知
2
sinA=
3cosA

(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值;
(2)若a=
3
,求△ABC面积的最大值.
答案
(1)由
2
sinA=
3cosA
两边平方得:
2sin2A=3cosA即(2cosA-1)(cosA+2)=0,
解得:cosA=
1
2

而a2-c2=b2-mbc可以变形为
b2+c2-a2
2bc
=
m
2

即cosA=
m
2
=
1
2
,所以m=1.
(2)由(1)知cosA=
1
2
,则sinA=
3
2

b2+c2-a2
2bc
=
1
2

所以bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即bc≤a2
故S△ABC=
bc
2
sinA≤
a2
2
3
2
=
3
3
4
(1)把题设等式平方后利用同角三角函数基本关系整理成关于cosA,求得cosA的值.然后利用余弦定理求得m的值.
(2)由(1)中cosA,求得sinA,根据余弦定理求得a,b和c的不等式关系,进而利用三角形面积公式求得三角形面积的范围.

余弦定理的应用.

本题主要考查了余弦定理的应用.解题的关键是通过余弦定理找到三角形边角问题的联系,找到解决的途径.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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