已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数, (1)若f(x)在x=1处取得的极值为2,求a,b的值; (2)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数,
(1)若f(x)在x=1处取得的极值为2,求a,b的值;
(2)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题设可知:f'(1)=0且f(1)=2,
即
,
解得
a=,b=−5.;
(Ⅱ)∵f'(x)=3x
2-6ax-b=3x
2-6ax-9a,
又f(x)在[-1,2]上为减函数,
∴f'(x)≤0对x∈[-1,2]恒成立,
即3x
2-6ax-9a≤0对x∈[-1,2]恒成立,
∴f'(-1)≤0且f′(2)≤0,
即
⇒⇒a≥1,
∴a的取值范围是a≥1.
(1)根据f(x)在x=1处取得的极值为2,可建立关于a,b的两个等式关系,解方程组即可.
(2)由f(x)在区间[-1,2]上为减函数,可转化成f'(x)≤0对x∈[-1,2]恒成立,借助二次函数的知识建立不等关系,可求出a的取值范围.
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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