将连续自然数1，2，3，…，n（n≥3）的排列顺序打乱，重新排列成a1，a2，a3，…，an.若（a1-1）（a2-2）（a3-3）…（an-n）恰为奇数，则（　　） A.一定是偶数 B.一定是奇数

题目

将连续自然数1，2，3，…，n（n≥3）的排列顺序打乱，重新排列成a₁，a₂，a₃，…，a_n.若（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）恰为奇数，则（　　）
A. 一定是偶数
B. 一定是奇数
C. 可能是奇数，也可能是偶数
D. 一定是2^m-1（m是奇数）

答案

如果n是偶数的话，
在1～n这个数列中偶数的个数和奇数的个数相等，
要保证（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）是奇数，则须保证每一项都为奇数．
因为a₁～～a_n中奇数偶数都相等，
所以完全可能找出一队序列1～～n 使（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）每一项都是奇数，
 如果n是奇数的话，在1～n这个数列中偶数的个数比奇数的个数少一个，
要保证（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）是奇数，则须保证每一项都为奇数．
因为a₁～a_n中奇数比偶数多一个，一定会在（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）中有一个偶数，
因此（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）必为偶数，
所以n必为偶数．
故选A．