中心在原点,焦点在x轴的椭圆,斜率为2分之根号3与直线x+y-1=0交于A、B两点,若以AB为直径的圆经过原点.

题目

中心在原点,焦点在x轴的椭圆,斜率为2分之根号3与直线x+y-1=0交于A、B两点,若以AB为直径的圆经过原点.
求椭圆方程.

答案

根据题意
e=c/a=√3/2
c²=3/4a²
b²+c²=a²
则b²=1/4a²
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1即x²+4y²=a²
因为以AB为直径的圆过原点所以OA垂直OB因为角AOB=90度
设A（x1,y1）B（x2,y2）
则(y1-0)/(x1-0)*(y2-0)/(x2-0)=-1
化简x1x2+y1y2=0
直线x+y-1=0即y=-x+1代入椭圆化简
5x²-8x+4-a²=0
韦达定理
x1x2=(4-a²)/5,x1+x2=8/5
y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2
代入x1x2+y1y2=0
(4-a²)/5+1-8/5+(4-a²)/5=0
化简2a²=5
a²=5/2
b²=5/8
椭圆方程：2x²/5+8y²/5=1