已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn·Sn-1（n大于等于2,Sn不为0）,a1=2/9

题目

已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn·Sn-1（n大于等于2,Sn不为0）,a1=2/9
1、求证{1/Sn}为等差数列
2、求满足an>an-1的自然数n的集合

答案

1.由题意得：
Sn-Sn-1=an;
1/Sn-1/Sn-1=(Sn-1 - Sn ) / (Sn·Sn-1) =-an/an=-1;
S1=a1=2/9;
所以1/Sn=1/S1+(n-1)*(-1)=11/2-n;
所以Sn=2/(11-2n);
所以an=Sn-Sn-1=4/[(2n-11)(2n-13)];
所以数列{1/Sn}是公差为-1,首项为2/9的等差数列.
2.当an>an-1时,由第一问结果,得到：
4/[(2n-11)(2n-13)]>4/[(2n-13)(2n-15)];
（接下来主要是讨论符号）；
当1==8时,得到-15>-11不成立；
综上所述：可得：解集为:
{1,2,3,4,5,7}