limx趋近0 【根号下(1+tanx)—根号下（1+sinx）】/{【x乘以ln(1+x）】—x^2}.

题目

limx趋近0 【根号下(1+tanx)—根号下（1+sinx）】/{【x乘以ln(1+x）】—x^2}.

答案

先将式子化简一下
原式=lim根号下(1+sinx)[根号下(1+(tanx-sinx)/(1+sinx))-1]/[xln(1+x)-x²]
=lim[根号下(1+(tanx-sinx)/(1+sinx))-1]/[xln(1+x)-x²]
利用等价无穷小替换
(1+x)^(1/n)-1~x/n(x→0)
得
原式=lim(tanx-sinx)/2[xln(1+x)-x²]
=limsinx(1-cosx)/2[xln(1+x)-x²]
再利用等价无穷小替换
sinx~x
1-cosx~1/2x²
则原式=1/4limx²/[ln(x+1)-x]
利用洛必达法则可得
原式=1/4lim2x/[1/(x+1)-1]=-1/2