登月火箭关闭发动机后在离月球表面112千米的上空沿圆形轨道做匀速圆周运动,周期为120.

题目

登月火箭关闭发动机后在离月球表面112千米的上空沿圆形轨道做匀速圆周运动,周期为120.
根据这些数据计算月球的质量和平均密度（月球半径为1740米）

答案

月球半径应为1740千米；
设月球质量M,平均密度ρ,火箭质量m
1）火箭在圆形轨道上匀速圆周运动时,向心力＝万有引力
所以有 F＝GMm/(R+H)^2 ＝mV^2/(R+H) => M=(R+H)V^2/G
又 V=2π(R+H)/T
所以月球质量 M=(2π)^2×(R+H)^3/GT^2≈7.185×10^22 kg
2）月球体积V＝(4/3)πR^3
平均密度ρ=M/V=3π(R+H)^3/（G×T^2×R^3）≈3257.8 kg/m^3≈3.26 g/cm^3