用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+…………n^3=（1+2+3+.+n)^2

题目

用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+…………n^3=（1+2+3+.+n)^2

答案

当n=1时
左边1^3=1 右边1^2=1
左边=右边
假设当n=k时等式成立
1^3+2^3+3^3+…k^3=（1+2+3+.+k)^2
则当n=k+1时
1^3+2^3+3^3+…k^3+(k+1)^3
=(1+2+3+.+k)^2+(k+1)^3 1+2+3.+k=k(k+1)/2 等差数列
=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3
=(1+k)^2(k^2/4+k+1)
=(1+k)^2(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
=[(k+1)(k+1+1)/2]^2
=(1+2+3.+k+k+1)^2 1+2+3+...k+k+1=(k+1)(k+1+1)/2 也是等差数列
所以当n=k+1等式也成立
所以
1^3+2^3+3^3+…………n^3=（1+2+3+.+n)^2