求与椭圆x^2/4+y^2/3=1有相同的离心率,且过点M(2,1)的椭圆方程

题目

求与椭圆x^2/4+y^2/3=1有相同的离心率,且过点M(2,1)的椭圆方程

答案

由x²/4+y²/3=1知 c/a=1/2
所以所求椭圆的c和a的关系也是一样的 则a=2c 由b²=a²-c² 可知b²=3c²
所以设所求椭圆方程为
x²/a²+y²/b²=1 即x²/（4c²）+y²/（3c²）=1
将点M(2,1)代入上面的椭圆方程中 得
2²/（4c²）+1²/（3c²）=1
可推导出c²=4/3 所以a²=4c²=16/3 b²=3c²=4
所以椭圆方程为 x²/（16/3）+y²/4=1
整理得 （3x²）/16+y²/4=1