函数y=2asin平方x-(2根号3)sinxcosx+a+b 定义域[0,兀/2]值域[-5,1]求常数a,b的值

题目

函数y=2asin平方x-(2根号3)sinxcosx+a+b 定义域[0,兀/2]值域[-5,1]求常数a,b的值

答案

sin2x=2sinxcosx cos2x=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2=(cosx)^2-(sinx)^2
y=2a(sinx)^2-(2√3)sinxcosx+a+b
=a[2(sinx)^2-1+1]-(2√3)sinxcosx+a+b
=a*[(-cos2x)+1]-√3sin2x+a+b
=-acos2x-a+a+b-√3sin2x
=-(acos2x+√3sin2x)+b
因为已知函数定义域[0,兀/2]值域[-5,1]
所以2x∈[0,兀]
因为√3>1,所以设Ksinr=a Kcosr=√3
所以acos2x+√3sin2x=K(sinr+2x) 即y=K(sinr+2x)+b
-K+b=-5 K+b=1
或-K+b=1 K+b=-5
解得 b=-2 K=3
所以 cosr=(√3)/3
(cosr)^2=1/3
(sinr)^2=1-(cosr)^2=2/3
a=±√6