已知定义在自然数集合n上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n)

题目

已知定义在自然数集合n上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n)
证明f(n)是一个周期为6的函数
若f（1）=1 f（2)=3求f(2008)

答案

∵f(n+6)=f[(n+4)+2]=f(n+5)-f(n+4)
=f(n+4)-f(n+3)-f(n+4)
=-f(n+3)
=-[f(n+2)-f(n+1)]
=f(n+1)-f(n+2)
=f(n+1)-[f(n+1)-f(n)]
=f(n)
∴f(n)是一个周期为6的函数
∵2008除以6商334余4 ∴f(2008)=f(4)=f(3)-f(2)=[f(2)-f(1)]-f(2)=-f(1)=-1