若abc为实数 且a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 求证a=b=c

题目

若abc为实数 且a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 求证a=b=c

答案

a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
两边同乘以2得：
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
则：必有：
a-b=b-c=a-c=0
解得：a=b=c