设a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数.(1)求实数b的取值范围;(2)判断函数f(x)在区间(-b,b)上的单调性,并加以证明.
题目
设a,b∈R且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg
是奇函数.
(1)求实数b的取值范围;
(2)判断函数f(x)在区间(-b,b)上的单调性,并加以证明.
答案
(1)依题意知:当x∈(-b,b)时,f(-x)=-f(x)恒成立,
即
lg=-lg恒成立,
而
lg=-lg⇔ | =⇔a2x2=4x2⇒a2=4⇒a=-2(2舍去) | >0 |
| |
再由
>0,解得
-<x<.
依题意知:
(-b,b)⊆(-,),
∴
0<b≤即
b∈(0,].
(2)函数f(x)在区间(-b,b)上单调递减.
由(1)知,
f(x)=lg , x∈(-b,b),
∀x
1,x
2∈(-b,b),且
-≤-b<x1<x2<b≤,则0<1-2x
2<1-2x
1,0<1+2x
1<1+2x
2从而
f(x2)-f(x1)=lg-lg=lg(1-2x2)(1+2x1) |
(1+2x2)(1-2x1) |
<lg1=0,)
∴f(x
1)>f(x
2),故函数f(x)在区间(-b,b)上单调递减.
(1)利用奇函数的定义可得a,再利用奇函数和对数函数的定义域可得b的取值范围.
(2)函数f(x)在区间(-b,b)上单调递减.利用单调递减函数的定义、对数函数的运算性质即可得出.
函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质.
本题考查了函数的奇偶性、单调性、对数函数的运算法则,考查了推理能力和技能数列,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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