已知函数f(x)=2cosxsin(x+π3)−3sin2x+sinxcosx (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若x∈[−π2,π2]时,求f(x)的单调递减区间.

已知函数f(x)=2cosxsin(x+π3)−3sin2x+sinxcosx (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若x∈[−π2,π2]时,求f(x)的单调递减区间.

题目
已知函数f(x)=2cosxsin(x+
π
3
)−
3
sin2x+sinxcosx

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若x∈[−
π
2
π
2
]
时,求f(x)的单调递减区间.
答案
(Ⅰ)f(x)=2cosx(
1
2
sinx+
3
2
cosx)−
3
sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+
3
(cos2x−sin2x)

=sin2x+
3
cos2x

=2sin(2x+
π
3
)

∴T=π
(Ⅱ)f(x)的减区间为2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
2
kπ+
π
12
≤x≤kπ+
12

又∵x∈[−
π
2
,−
π
12
]
,∴
π
2
≤x≤−
12
π
12
≤x≤
π
2

即f(x)在[−
π
2
,−
12
]
和在[
π
12
π
2
]
上单调递减.
(Ⅰ)先根据两角和与差的正弦公式进行展开后合并,进而再由辅角公式化简为y=Asin(wx+ρ)的形式,根据T=
w
可确定最小正周期.
(Ⅱ)先根据满足f(x)的减区间求出x的范围,再结合题中x的范围确定f(x)的单调递减区间.

三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;反三角函数的运用.

本题主要考查两角和与差的正弦定理和辅角公式 的应用和正弦函数的单调性.考查基础知识的综合应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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