若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值

题目

若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值
如果用xy=t 然后带入再使Δ≥0 的方法行不?均值不等式的方法我会

答案

可以.
设 xy=t,则 y=t/x ,t>0
所以
2x+t/x +6=t
2x²+(6-t)x +t=0
因为 x是正实数,
从而 方程 2x²+(6-t)x +t=0 至少有一个正实根,
所以 Δ=(6-t)²-8t≥0,且 (t-6)/2 >0
解得 t≥18或t≤2 且t>6
从而 t≥18
即 当 x=3,y=6时,xy的最小值为18.