已知函数f(x)=3sinx-cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为 _ ．

题目

已知函数f(x)=

3

sinx-cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为 ___ ．

答案

化简，得f(x)=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），
∴不等式f（x）≥1即2sin（x-

π

6

）≥1，可得sin（x-

π

6

）≥

1

2

结合正弦函数的图象，得

π

6

+2kπ≤x-

π

6

≤

5π

6

+2kπ，k∈Z
解之得

π

3

+2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z，
∴原不等式的解集为：{x|

π

3

+2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z}
故答案为：{x|

π

3

+2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z}

利用辅助角公式化简，得f（x）=2sin（x-π6），因此不等式f（x）≥1即sin（x-π6）≥12，再结合正弦函数的图象解关于x的不等式，即可得到本题所求的解集．

本题考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．

考点点评：本题给出关于x的三角函数式，求不等式若f（x）≥1的解集，着重考查了三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．