求y=sin四次方x+cos四次方x的值域

题目

求y=sin四次方x+cos四次方x的值域

答案

y=sin^4x+cos^4x
=(sin^2x)^2+(cos^2x)^2
=(sin^2x)^2+2sin^2x*cos^2x+(cos^2x)^2-2sin^2x*cos^2x
=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2x*cos^2x
=1-(4sin^2x*cos^2x)/2
=1-[(2sinxcosx)^2]/2
=1-sin^2(2x)/2
∵sin2x∈[-1,1]
∴sin^2(2x)∈[0,1]
-sin^2(2x)∈[-1,0]
则：-sin^2(2x)/2∈[-1/2,0]
∴1-sin^2(2x)/2∈[1/2,1]
即：y=sin^4x+cos^4x的值域为：[1/2,1]