已知x1、x2是关于x的方程x2-kx+k-1=0的两个实数根，求y=（x1-2x2）（2x1-x2）的最小值．

题目

已知x₁、x₂是关于x的方程x²-kx+k-1=0的两个实数根，求y=（x₁-2x₂）（2x₁-x₂）的最小值．

答案

∵x₁、x₂是关于x的方程x²-kx+k-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=k-1，
∴y=（x₁-2x₂）（2x₁-x₂）
=2x₁²-x₁x₂-2x₁x₂+2x₂²
=2x₁²-3x₁x₂+2x₂²
=2（x₁²+x₂²）-3x₁x₂
=2（x₁+x₂）²-7x₁x₂
=2k²-7（k-1）
=2k²-7k+7
=2（k²-

7

2

k）+7
=2（k²-

7

2

k+

49

16

-

49

16

）+7
=2（k-

7

4

^）2+

7

8

，
∴y=（x₁-2x₂）（2x₁-x₂）的最小值

7

8

．