已知函数f(x)=2cos²x+根号3sin2x+a求函数f(x)当x∈【0,π/2】时的最大值和最小值
题目
已知函数f(x)=2cos²x+根号3sin2x+a求函数f(x)当x∈【0,π/2】时的最大值和最小值
已知函数f(x)=2cos²x+根号3sin2x+a,求函数f(x)当x∈【0,π/2】时的最大值和最小值.
已知函数fx=sin(2x+π/6)+cos(2x+π/3)(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求函数f(x)的最小值及f(x)取最小值时x的集合.(3)求使y≤0的x取值范围.
答案
解f(x)=2cos²x+根号3sin2x+a
=2cos²x-1+√3sin2x+a+1
=cos2x+√3sin2x+a+1
=2(√3/2sin2x+1/2cos2x)+a+1
=2sin(2x+π/6)+a+1
由x∈【0,π/2】
知2x∈【0,π】
即2x+π/6∈【π/6,7π/6】
即-1/2≤sin(2x+π/6)≤1
即-1≤2sin(2x+π/6)≤2
即a≤2sin(2x+π/6)+a+1≤a+3
即a≤f(x)≤a+3
故f(x)的最大值为a+3,最小值为a
2 f(x)=sin(2x+π/6)+cos(2x+π/3)
=sin(2x+π/6)+sin[π/2-(2x+π/3)]
=sin(2x+π/6)+sin(π/6-2x)
=sin(2x+π/6)-sin(2x-π/6)
=sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6-[sin2xcosπ/6-cos2xsinπ/6]
=2cos2xsinπ/6
=cos2x
1故函数的周期T=2π/2=π
2当2x=2kπ+π,k属于Z时,y有最小值-1
即x=kπ+π/2,k属于Z时,y有最小值-1
故函数y=f(x)的最小值为-1,对应x的集合是{x/x=kπ+π/2,k属于Z}
3由y≤0
即cos2x≤0
即2kπ+π/2≤2x≤2kπ+3π/2,k属于Z,
即kπ+π/4≤x≤kπ+3π/4,k属于Z
故使y≤0的x取值范围{x/kπ+π/4≤x≤kπ+3π/4,k属于Z}
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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