求定积分,下限为负一,上限为一,被积表达式为(x*2sinx+(arctanx)*2)÷(1+x*2)dx

题目

求定积分,下限为负一,上限为一,被积表达式为(x*2sinx+(arctanx)*2)÷(1+x*2)dx

答案

[-1,1] ∫ (x² sinx + arctan²x) / (1+x²) dx
= [-1,1] ∫ x² sinx / (1+x²) dx + [-1,1] ∫ arctan²x / (1+x²) dx
=0 + [-1,1] ∫ arctan²x d(arctanx)
=1/3 arctan³x | [-1,1]
=1/3 [(π/4)³-(-π/4)³]
=π³/96
注：设 f(x) = x² sinx / (1+x²)
f(-x)= (-x)² sin(-x) / [1+(-x)²] = -x² sinx / (1+x²) = -f(x)
f(x) 是奇函数,[-1,1] 是对称区间,奇函数在对称区间上的积分等于零,所以
[-1,1] ∫ x² sinx / (1+x²) dx = 0