二次函数f(x)在【0,2】上是增函数,且满足f(x+2)=f(x-2),f(a)大于等于f(0),求实数a的取值范围.

题目

二次函数f(x)在【0,2】上是增函数,且满足f(x+2)=f(x-2),f(a)大于等于f(0),求实数a的取值范围.

答案

f(x+2)=f(x-2)等价于f(x)=f(x+4),表示周期为4的函数,
所以应该是f(x+2)=f(2-x),这样的话二次函数的对称轴就是x=2,f(0)=f(4)
因为f(x)在[0,2]上是增函数,作出该二次函数的大体图形可知：抛物线开口向下,且关于x=2对称,所以在[2,4]上是减函数,
因为 f(a)≥f(0),因为f(x)在[0,2]上是增函数,所以0≤a≤2,
又因为f(x)在[2,4]上是减函数, f(a)≥f(4),所以2≤a≤4,
综上可得0≤a≤4