用数学归纳法证明；（n-1)^3+n^3+(n+1)^3能被9整除

题目

用数学归纳法证明；（n-1)^3+n^3+(n+1)^3能被9整除

答案

n=1时,0^3+1^3+2^3=9 能被9整除；n=2时,1^3+2^3+3^3=36 能被9整除；.可知假设当n=a时,f(a)=(a-1)^3+a^3+(a+1)^3能被9整除,那么当n=a+1时,f(a+1)=a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=f(a)+(a+2)^3-(a-1)^3=f(a)+(a^3+6a^2+12a+8)-(a^3-3a^2+3a-1)=f(a)+9*(a^2+a+1)前项可被9整除,后项也可以被9整除