过双曲线x2/a2-y2/b2=1的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线L,垂足为P,设L与双曲线的左右两支相交于A、B.

题目

过双曲线x2/a2-y2/b2=1的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线L,垂足为P,设L与双曲线的左右两支相交于A、B.
求证：（1）点p在双曲线的右准线上.
（2）求双曲线的离心率e的变化范围.

答案

分析：易得渐近线斜率为正的方程为：y=(b/a)x,于是不防设P(xo,(b/a)xo),F(c,0),又向量FP=(xo-c,(b/ a)xo),向量OP=(xo,(b/a)xo)由题有FP垂直OP,于是向量OP*向量FP=xo(xo-c)+(b/a)^2xo^2=0,得到[(a^2+b^2)/a^2]xo^2=cxo,其中a^2+b^2=c^2,且xo!=0得xo=a^2/c,即点P在右准线上得证.2）2）数形结合.PF与左右支有两交点,则只需考虑PF斜率k（-b/a,与曲线左右两交相交,当k-b/a,并注意到几何关系c>xo,化简得2xo2^(1/2).