已知sin（α+β）=1，求证：tan（2α+β）+tanβ=0

题目

已知sin（α+β）=1，求证：tan（2α+β）+tanβ=0

答案

证明：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴α＝2kπ+

π

2

−β(k∈Z)，
把α代入到等式左边得：
tan(2α+β)+tanβ＝tan[2(2kπ+

π

2

−β)+β]+tanβ
=tan（4kπ+π-2β+β）+tanβ
=tan（4kπ+π-β）+tanβ
=tan（π-β）+tanβ
=-tanβ+tanβ=0，
∴tan（2α+β）+tanβ=0