已知一组数据为X1,X2 ,...,Xn,其方差为S的平方

题目

已知一组数据为X1,X2 ,...,Xn,其方差为S的平方
求证:数据KX1+a,KX2+a,...,KXn+a的方差为K的平方乘S的平方
就是为什么等于K的平方乘S的平方

答案

X1,X2 ,...,Xn的平均数为
X平均=(X1+X2+...+Xn)/n
X1,X2 ,...,Xn的方差为S^2=[(X1-X平均)^2+(X2-X平均)^2+...+(Xn-X平均)^2]/n,
KX1+a,KX2+a,...,KXn+a的平均数为[(KX1+a)+(KX2+a)+...+(KXn+a)]/n=K(X1+X2+...+Xn)/n+a=KX平均+a
KX1+a,KX2+a,...,KXn+a的方差为
{[(KX1+a)-(KX平均+a)]^2+[(KX2+a)-(KX平均+a)]^2+...+[(KXn+a)-(KX平均+a)]^2}/n
={[K(X1-X平均)]^2+[K(X2-X平均)]^2+...+[K(Xn-X平均)]^2}/n
=(K^2)[(X1-X平均)^2+(X2-X平均)^2+...+(Xn-X平均)^2]/n
=(K^2)(S^2)