如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．

题目

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．

答案

证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，
∴∠DAH=∠DCA，
∵∠BAC=90°，BE∥AC，
∴∠CAD=∠ABE=90°．
又∵AB=CA，
∴在△ABE与△CAD中，

∠DAH=∠DCA ∠CAD=∠ABE AB=AC

∴△ABE≌△CAD（ASA），
∴AD=BE，
又∵AD=BD，
∴BD=BE，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，
故∠ABC=45°．
∵BE∥AC，
∴∠EBD=90°，∠EBF=90°-45°=45°，
∴△DBP≌△EBP（SAS），
∴DP=EP，
即可得出BC垂直且平分DE．

证明出△DBP≌△EBP，即可证明BC垂直且平分DE．

本题考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题关键在于转化为证明出△DBP≌△EBP．通过利用图中所给信息，证明出两三角形全等，而证明全等可以通过证明角相等和线段相等来实现．