已知椭圆中心在原点,离心率为2分之根号3,F为左焦点,A为右顶点,B为短轴一顶点,求cos角ABF.

题目

已知椭圆中心在原点,离心率为2分之根号3,F为左焦点,A为右顶点,B为短轴一顶点,求cos角ABF.

答案

x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
离心率为e=c/a=√3/2,c=√3/2a
∴b²=a²-c²=1/4a²
∴a=2b,c=√3b
左焦点F(-c,0),右顶点A(a,0)
不妨取上顶点B(0,b)
∴BF=a=2b,BA=√(a²+b²)=√5*b
AF=a+c=2b+√3b=(2+√3)b
cos∠ABF
=(BF²+BA²-AF²)/(2×BF×AB)
=[4b²+5a²-(2+√3)²b²]/(2×2b×√5b)
=(1-2√3)/(2√5)
=(√5-2√15)/10