过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的右顶点A作斜率为-1的直线,与两渐近线交于B C,若向量AB=1/2向量BC,求离心率

题目

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的右顶点A作斜率为-1的直线,与两渐近线交于B C,若向量AB=1/2向量BC,求离心率

答案

由双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1知两渐近线方程为y=±bx/a,
过右顶点A(a,0)且斜率为-1的直线l为y=-x+a,
分别解直线l与两渐近线所组成的方程组,
得交点B(a²/(a+b),ab/(a+b)),C(a²/(a-b),-ab/(a-b)),
所以向量AB=(-ab/(a+b),ab/(a+b)),向量BC=(2a²b/(a²-b²),-2a²b/(a²-b²))
因为向量AB=1/2向量BC,所以-ab/(a+b)=a²b/(a²-b²),即b=2a,
所以c=√(a²+b²)=√5a,离心率e=c/a=√5.