已知函数f(x)=xln x.若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,则实数a的取值范围为_.
题目
已知函数f(x)=xln x.若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,则实数a的取值范围为______.
答案
∵f(x)=xlnx,
当x≥1时,f(x)≥ax-1恒成立⇔xlnx≥ax-1(x≥1)恒成立⇔a≤lnx+
(x≥1)恒成立,
令f(x)=lnx+
,则a≤f(x)
min(x≥1)恒成立;
∵f′(x)=
-
=
,
∴当x≥1时,f′(x)≥0,
∴f(x)=lnx+
在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)
min=1,
∴a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].
故答案为:(-∞,1].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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