在Rt三角形ABC中,角C=90度,AC=4,BC=2,D是BC的中点,那么(向量AB-向量AC)×向量AD=?若E是AB中点,P是三角形ABC(包括边界)任意一点,则向量AD×向量EP的取值范围是?
题目
在Rt三角形ABC中,角C=90度,AC=4,BC=2,D是BC的中点,那么(向量AB-向量AC)×向量AD=?若E是AB中点,P是三角形ABC(包括边界)任意一点,则向量AD×向量EP的取值范围是?
答案
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中点,那么
^AD²=(^AB²+^AC²)/2,
^AB²=^AC²+^BC²=16+4=20.
∴(^AB-^AC)·^AD=(^AB-^AC)·(^AB+^AC)/2 =(^AB²-^AC²)/2=(20-16)/2=2.
以CA所在的直线为x轴,以CB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A的坐标为(4,0),B的坐标为(0,2),
由线段的中点公式可得点D的坐标为(0,1),点E的坐标为(2,1),设点P的坐标为(x,y),
则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域,故有
x≥0
y≥0
x/4+y/2≤1
.
令t=^AD·^EP=(-4,1)·(x-2,y-1)=7-4x+y,即 y=4x+t-7.
故当直线y=4x+t-7过点A(4,0)时,t取得最小值为7-16+0=-9,
当直线y=4x+t-7过点B(0,2)时,t取得最大值为 7-0+2=9,
故t=^AD·^EP的取值范围是[-9,9]
用这个符号表示 ^ 向量了
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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