如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．

题目

如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．

答案

证明：连接AP，BP，CP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，AH⊥BC于H，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH，S_△APB=

1

2

AB•PE，S_△APC=

1

2

AC•PF，S_△BPC=

1

2

BC•PD
∵S_△ABC=S_△APB+S_△APC+S_△BPC
∴

1

2

BC•AH=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF+

1

2

BC•PD，且AB=BC=AC，
即PE+PF+PD=AH．