已知函数f(x)=3ax-2x2+lnx,a为常数. (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=3ax-2x2+lnx,a为常数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
答案
(1)当a=1时,f(x)=3x-2x
2+lnx,则f(x)的定义域是(0,+∞)
∵
f′(x)=3−4x+==.
∴由f′(x)>0,得0<x<1;由f′(x)<0,得x>1;
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.
(2)∵
f′(x)=3a−4x+.
若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,
则f′(x)≥0,或f′(x)≤0在区间[1,2]上恒成立.
∴
3a−4x+≥0,或
3a−4x+≤0在区间[1,2]上恒成立.
即
3a≥4x−,或
3a≤4x−在区间[1,2]上恒成立.
设h(x)=
4x−,
∵h′(x)=4+
>0
∴h(x)=
4x−在区间[1,2]上是增函数.
h(x)
max=h(2)=
,h(x)
min=h(1)=3
∴只需3a≥
,或3a≤3.
∴a≥
,或a≤1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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