a^2+c^2-b^2=1/2ac,b=2 ,求三角形ABC的最大值

题目

a^2+c^2-b^2=1/2ac,b=2 ,求三角形ABC的最大值

答案

由余弦定理：b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
所以,2ac*cosB=a^2+c^2-b^2
由题知：a^2+c^2-b^2=1/2ac,
所以,2ac*cosB=1/2ac
所以,cosB=1/4
所以,sinB=根号下(1-cos²B)=根号下[1-(1/4)²]=(根号15)/4
因为,a^2+c^2-b^2=1/2ac,b=2
所以,1/2ac+b^2=a^2+c^2》2ac
(3/2)*ac《4
所以,ac《8/3 ,当且仅当,a=c 时,取等号
所以,S△ABC=(1/2)*ac*sinB《(1/2)*(8/3)*[(根号15)/4]=(根号15)/3
所以,三角形ABC面积的最大值=(根号15)/3