x大于1,y大于0 求证不等式：(x)ln x-x+e^y-xy>=0

题目

x大于1,y大于0 求证不等式：(x)ln x-x+e^y-xy>=0

答案

任意固定y>0,考虑函数f(x)=xlnx-x+e^y-xy,要证当x>1时f(x)>=0.
首先注意f(1)=e^y-1-y>0（利用e^y的Taylor展开易知）
以及x趋于正无穷时f(x)趋向于正无穷,
因此只要证x>1时f(x)的最小值大于等于0.
为此注意 f'(x)=lnx-y,而在最小值点必有 f'(x)=0,所以x=e^y,
计算得到 f(e^y)=e^y *y-e^y+e^y-e^y *y=0,即f(x)的最小值等于0.