如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连接CE交AB于点F． （1）求证：DE=DF； （2）连AE，若OF=1，BF=3，求DE长．

题目

如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连接CE交AB于点F．

（1）求证：DE=DF； 
（2）连AE，若OF=1，BF=3，求DE长．

答案

（1）连接OE，
∵DE为圆的切线，
∴OE⊥ED，
∴∠OEC+∠CED=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠COD=90°，
∴∠C+∠CFO=90°，
∵∠CFO=∠DFE，
∴∠C+∠DFE=90°，
∵OC=OE，
∴∠C=∠OEC，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；
（2）在Rt△OED中，OE=OB=OF+FB=1+3=4，
根据勾股定理得：OD²=OE²+ED²，即（1+DF）²=（1+DE）²=4²+DE²，
解得：DE=7.5．