若x,y为实数,求u=x2+xy+y2-x-2y+3的最小值.

题目

若x,y为实数,求u=x2+xy+y2-x-2y+3的最小值.

答案

解:
u=x²+xy+y²-x-2y+3
换元.可设x=a+b,
y=a-b (a,b∈R)
此时u=2(a²+b²)+a²-b²-a-b-2a+2b+3
=3a²-3a+b²+b+3
=3[a-(1/2)]²+[b+(1/2)]²+2
∴恒有u≧2,等号仅当a=1/2, b=-1/2时取得.
∴(u)min=2