导函数在X=0处连续,和导数在x=0处的存在有什么区别```?

题目

导函数在X=0处连续,和导数在x=0处的存在有什么区别```?
有一个题目是一个f(x)的分段函数当x小于等于0时f（X）=0
当X〉0时f（X）=x^a...后边想不起来了`````题目是1.求当a为何值时f'（0）存在
2.当a为何值时f'（x）在X=0处连续（是导数的连续）
答案第一个是a〉1 第二个是a〉2
所以我想问导数的存在和连续在条件上有什么区别呢```~?

答案

导数的存在和连续在条件上有什么区别?你指的是导数存在与导数连续的区别?那与“函数在一点有函数值”和“函数在一点连续”的区别是一样的
你举的例子是f(x)＝
0,x＝0
x^a×sin(1/x),x≠0
在x＝0处,[f(x)-f(0)]/x＝x^(a-1)×sin(1/x),当x→0时,此极限要存在,必须是a-1＞0,即a＞1,得f'(0)＝0
这时候,在x≠0处,f'(x)＝ax^(a-1)sin(1/x)－x^(a-2)cos(1/x),很明显如果只有条件a＞1,lim(x→0) f'(x) ＝ －lim(x→0) x^(a-2)cos(1/x)不一定存在,所以f'(x)在x＝0处不一定连续.
如果f'(x)在x＝0处连续,则lim(x→0) f'(x) ＝ －lim(x→0) x^(a-2)cos(1/x)＝0,所以a-2＞0,得a＞2