化简下式（1+cosα+cos2α+cos3α)÷（cos²α-sin²α/2）

题目

化简下式（1+cosα+cos2α+cos3α)÷（cos²α-sin²α/2）

答案

cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2sin²acosa=2cos2acosa-cosa
∴1+cosa+cos2a+cos3a
=1+cosa+cos2a+2cos2acosa-cosa
=1+cos2a+2cos2acosa
=2cos²a+2cos2acosa
=2cosa(cosa+cos2a)
∵cos²a-sin²a/2
=cos²a-(1-cosa)/2
=(2cos²a-1+cosa)/2
=(cos2a+cosa)/2
∴（1+cosα+cos2α+cos3α)÷（cos²α-sin²α/2）
=[2cosa(cosa+cos2a)]÷[(cos2a+cosa)/2]
=4cosa