求证一道初一的数学证明题

题目

求证一道初一的数学证明题
任意三角形ABC,D是BC的中点,用直角尺延D画一直角三角形,两条直角边与AB、AC分别交与点E、F,求BE+FC与EF的长短关系.

答案

首先,请你不要嫌我的答案长,题不难,我的回答不仅会告诉你答案,而且教会你做这样的题目的方法.有耐心的话,你就会发现很值.
题目中的BE和CF不在同一个三角形中,甚至根本不在一起.所以,要知道BE和CF相加之后怎样和EF比长短,就必须把BE和CF弄到一起
所以：
延长ED,假设延长到G,使得CG和BE平行,并且连接CG.这样就构成了新的三角形 CDG !
这个新的三角形和BDE是全等的(BD=CD、BE//CG).
所以：
BE=CG.
到这时,题目就可以看成 CG+CF 和 EF 之间的关系了
因为：
CG,CF在三角形CFG里面,而只需要把EF也想办法弄到CFG里面就更能体现出问题来了.
这时我们发现——题目中的ED垂直FD还没有用,有什么用呢?——它可以用来证明：FD是三角形EFG的中垂线!
所以：
三角形EFG是等腰三角形,所以EF=FG!
题目就又变成了CG+CF和FG是什么关系了,很明显嘛!根据“在同一个在三角形中,任意两边长度的和都大于第三边”,得证.