过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p= _ .
题目
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p= ___ .
答案
由题意可知过焦点的直线方程为
y=x-,
联立有
⇒x2-3px+=0,
∴x
1+x
2=3p,x
1x
2=
∴|x
1-x
2|=
=
又
|AB|==8求得p=2
故答案为2
抛物线的方程可求得焦点坐标,进而根据斜率表示出直线的方程,与抛物线的方程联立消去y,进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2,进而利用配方法求得|x1-x2|,利用弦长公式表示出段AB的长求得p.
抛物线的简单性质.
本题主要考查了抛物线的简单性质.涉及直线与抛物线的关系时,往往是利用韦达定理设而不求.
举一反三
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