数列{（n＋1）3^n}的前n项和

题目

数列{（n＋1）3^n}的前n项和

答案

典型的“等差*等比”型数列,用错位相减法
Sn=2*3^1+3*3^2+4*3^3 +...+(n+1)*3^n (1)
3Sn= 2*3^2+3*3^3+...+ n*3^n + (n+1)*[3^(n+1)] (2)
(1) 式 减 (2)式,得
-2Sn= 6+(3^2+3^3+...+3^n) - (n+1)*[3^(n+1)]
(注意,中间是一个等比数列,但只有 n-1 项)
-2Sn=6 + 3^2[1-3^(n-1)]/(1-3) - (n+1)*[3^(n+1)]
化简,得
Sn=(3/4) * { [(2n+1) * 3^n] -1 }

(这种指数运算很繁杂,有人居然可以心算,佩服!)