已知角A.B∈(0~45),且3sinB=sin(2A+B),4tan(A/2)=1-tan^2(A/2),求A＋B的值

题目

已知角A.B∈(0~45),且3sinB=sin(2A+B),4tan(A/2)=1-tan^2(A/2),求A＋B的值
tan(A/2)的2倍

答案

由已知条件4tan(A/2)=1-tan²(A/2),以tan(A/2)为未知数,解一元二次方程得tan(A/2)= -2±√5
因为A∈(0,π/4),所以A/2∈(0,π/8),所以tan(A/2)>0,所以tan(A/2)=√5-2
所以由倍角公式得tanA=2tan(A/2)/[1-tan²(A/2)]=2*(√5-2) /[1-(√5-2)²]=1/2 …………①
进而求得sinA=1/√5,cosA=2/√5
再运用倍角公式得sin2A=4/5,cos2A=3/5
由已知条件3sinB=sin(2A+B)展开得3sinB=sin2AcosB+cos2AsinB
代入前面求出的结果得3sinB=(4/5)cosB+(3/5)sinB,化简得sinB/cosB=1/3,即tanB=1/3 …………②
结合①②有tan(A+B)= (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) = [(1/2)+ (1/3)]/[1-(1/2)*(1/3)]=1
因为A、B∈(0,π/4),所以A+B∈(0,π/2),结合tan(A+B)=1得出A+B=π/4