均匀球壳内部一质点的势能 均匀球壳的引力势能公式:壳内 :-GMm/R (R是球壳的半径) 求证明

题目

均匀球壳内部一质点的势能 均匀球壳的引力势能公式:壳内 :-GMm/R (R是球壳的半径) 求证明

答案

首先,实际情况是：一个均匀球壳,对球壳内物质的万有引力为零,而对球壳外物质的万有引力相当于球壳的质量都集中到球心那样.

我先证明第一问球壳内万有引力为0,如果需要第二问我再奉上.

球壳单位面积的质量密度为σ=M/4πR^2

对于壳内任意一点,做锥角极小的对顶圆锥,分别截球面面积为S1和S2,且该点到两球面的距离为r1和r2；可得S1正比于r1^2,S2正比于r2^2.

下面我证明,两球面产生的万有引力相互抵消.F1=GmσS1/r1^2=kσGm;F2=GmσS2/r2^2=kσGm(S1正比于r1^2,S2正比于r2^2,设比例系数为常数k).可得F1和F2大小相等,方向相反.过该点做一系列的这些对顶小圆锥最终覆盖球面,所有的都是相互抵消.

故球壳内部万有引力为0. 

球壳内的引力为0.所以势能等于球壳表面引力势能,相当于将质量集中在球心处时半径R处的势能,以无穷远处势能为0,则为-GMm/R