如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为a,侧棱长为2a,求

题目

如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为a,侧棱长为2a,求
(1)点A到直线B1C的距离；
(2)二面角A-B1C-B的正切值.

答案

过B点作BE⊥B1C于点E
(1)由三垂线定理易得AE⊥B1C,
所以点A到直线B1C的距离就是AE
在直角三角形BB1C中
B1C=√(BC²+BB1²)=√[a²+(2a)²]=(√5)a
则,BE=BB1×BC/B1C=a×2a/(√5)a=2a/√5
在直角三角形ABE中,
AE=√(AB²+BE²)=√a²+(2a/√5)²=3a/√5=(3√5)a/5
所以,点A到直线B1C的距离为(3√5)a/5
(2)二面角A-B1C-B的正切值为
tan∠AEB=AB/BE=a/(2a/√5)=√5/2